推步聚顶测妖田？这题我会 ——显微镜下的明朝数学

前不久，网剧《显微镜下的大明之丝绢案》播出，剧中多次呈现一种神奇的“推步聚顶之术”，用于测量那些形状极不规整的“妖田”。面对“妖田”，常用的测量方法和面积公式都派不上用场，只有使出“推步聚顶之术”，才能又快又准地解决问题。

本剧以明朝为历史背景，明朝真的有过“推步聚顶之术”吗？我们不妨一边回顾剧情，一边回看历史，探讨一下明朝的土地清丈和相关的数学技能。

(资料图)

真实历史记载于万历年间《丝绢全书》

先说剧情。

故事发生在明朝中叶，主角叫帅家默，金安府金华县人，父母双亡，性格自闭，丝毫不通人情世故，但却极具数学天分，故此得名“算呆子”。帅家默查阅官府档案时，偶然发现他们金华百姓每年要缴纳3530两的“人丁丝绢税”，已经连缴100多年，而在金安府治下8个县当中，这笔税赋只有金华县承担，其他7县均未分摊。帅家默向金华知县揭露此事，知县不理，他便去知府衙门和巡按衙门提告，掀起震动江南的一场风波，还与朝廷即将全面推行的土地清丈和均平税赋政策牵扯起来……

这段剧情是有历史原型的，相关史事详载于明朝万历七年（公元1579年）定稿的《丝绢全书》。编剧创作时，核心故事未变，但人名、地名和税赋数目均有改动。

在《丝绢全书》中，帅家默本名帅嘉谟，金安府本为徽州府，金华县本为徽州歙县，歙县每年多缴的“人丁丝绢税”并非3530两白银，而是8780匹丝绸，徽州府当时治下也不是8个县，而是6个县。剧中那位本来与帅家默对簿公堂、后来又从反派变成正派的讼师程仁清，在《丝绢全书》里本名程任卿，是徽州府婺源县的秀才。事实上，连《丝绢全书》这部文献都是由程任卿编写完成的。

更有必要说明的是，本剧总编剧马伯庸仔细研究过《丝绢全书》，他先根据《丝绢全书》创作历史随笔，使其成为《显微镜下的大明》一书的篇章之一，又在历史随笔的基础上写出这部同名网剧。

“割补之术”用来测量不规则地块

马伯庸不仅擅长讲故事，也擅长读历史，从剧中出现的计算道具和测量道具可以看出，他必定参考了明朝中叶最流行的数学书籍《算学宝鉴》和《算法统宗》。

比如说，每集片头都有一个镜头，用红、黄、绿三色的小木棒和草茎组成“≡|||||、≡〇”，其中小木棒是明朝及明朝以前数学家常用的算筹，而这组用小木棒和草茎组成的符号就相当于阿拉伯数字3530。

再比如第十集，主角帅家默使用一些奇怪的符号做计算，那些符号在明朝叫“账码”，是阿拉伯数字普及以前中国数学家普遍使用的数字系统。

又比如说，帅家默测量土地时，常用一种仿佛现代风筝线轮的放线工具，其样式在《算法统宗》中绘有插图，是明朝数学家程大位发明的“新丈量步车”。

还有本剧第七集，帅家默与同样爱好数学的邓知县探讨土地丈量之术，提到“广田”“圭田”“箕田”“弧田”，这些术语在明朝数学书籍里都很常见，分别指长方形地块、三角形地块、梯形地块、扇形地块。

长方形、三角形、梯形、扇形，都有现成的面积公式，易于测量和计算，但如果遇到剧中所说的“妖田”，那就很难办了。“妖田”这个词，现存的明朝数学书籍里并未出现，元朝《农书》里倒是有，是指灌溉之后迅速干涸的农田，与剧中含义并不相同。编剧可能是从《农书》里借用了这个词，也可能是碰巧创造了一个同音但不同义的概念，表示形状极不规则的多边形地块。

古人怎样测量不规则地块的面积呢？通常使用“割补之术”：先将地块补成长方形，再切割成一个个三角形，汇总出所有三角形的面积，再减去所补图形的面积，即是该地块的真实面积。在第七集，帅家默与邓知县比赛计算同一块“妖田”的面积，都不约而同地使用“割补之术”，而帅家默的心算能力更好，从速度而不是计算方法上击败了邓知县。

所谓“推步聚顶”其实运用了“鞋带公式”

有没有比“割补之术”更好的方法呢？帅家默隐约记得，小时候曾听父亲帅敦诚讲过一种无需割补、直接测量的技术，也就是贯穿本剧的“推步聚顶之术”，至于技术细节，他实在记不得了。直到第14集，他突然想通父亲当年的算法，还背诵出“推步聚顶”的口诀：“先牵经纬以衡量，再点原初标步长。田形取顶分别数，再算推步知地方。”

单凭这四句口诀，我们肯定搞不懂“推步聚顶”究竟是怎么一回事，然而参照剧中的操作，就能看出端倪。在第14集，帅家默丈量一块最难计算的“妖田”，他先在该“妖田”的每一个顶点打桩，再横平竖直地拉开绳尺，以绳尺左侧交汇处为原点，分别测算各个顶点到原点的长宽步数，将这些数字成对排列，交叉计算……

曾有观众为帅家默的计算过程提出解释，说“推步聚顶”运用了微积分。其实，以上测量和计算过程使用的数学原理并非微积分，而是“鞋带公式”。“鞋带公式”是利用坐标计算不规则多边形面积的理论方法。简单说，在测量地块之前，先要建立一个平面直角坐标系，分别测量该地块所有顶点的坐标，再沿着同一个方向（顺时针或逆时针）为这些坐标依次编号，列成一张上下排列的数表，再像穿鞋带一样，将相邻坐标的x值和y值交叉相乘，循环相减，将差相加，求得总和，将总和取绝对值，再除以2，即是该地块的面积。

举例说，有一块不规则五边形农田，共有5个顶点，顺时针测量，这些顶点的坐标分别是（3,4）、（5,11）、（12,8）、（9,5）、（5,6）。依据“鞋带公式”，相邻坐标交叉相乘，循环相减：3×11-4×5，5×8-11×12，12×5-8×9，9×6-5×5，5×5-6×3；得到5个数：13、-92、-12、29、2；这些数相加，总和是-60；取绝对值，得60；再除以2，得30。所以，这块地的面积就是30。如果测量各坐标时用的单位是丈，面积即为30平方丈，明朝60平方丈为一亩，这块地的面积就是半亩。

在测量技术上明朝并没有任何突破

“鞋带公式”是德国数学家德雷斯特（Albrecht Ludwig Friedrich Meister）在公元1769年提出的。几十年后，另一位德国数学家高斯（Carolus Fridericus Gauss）给出该公式的证明，并且用矩阵运算予以简化。所以，这个公式又被称为“高斯面积公式”。

无论是德雷斯特提出“鞋带公式”，还是高斯将该公式转化为矩阵运算，其时间都晚于明朝，所以帅家默不可能未卜先知地使用这个公式。那么明朝数学家有没有发明与“鞋带公式”相近的测量术呢？没有。

从开国皇帝朱元璋开始，明朝就格外重视土地清丈，试图查清全国每一块农田的真实面积，从而制定出对全国农民都比较均平的赋税政策。然而在测量技术上，明朝并没有任何突破，采用的仍然是此前宋朝和更加久远的汉唐时期的数学知识，只是将算盘给普及了而已。至于剧中呈现的“推步聚顶”，那是编剧对“鞋带公式”的演绎，不是明朝已有的数学。

坦白说，从实际操作角度看，在计算机和GPS定位技术出现之前，用“鞋带公式”测量面积只能是一种想象，因为它不仅需要建立坐标系，更需要地块平整，无坡度，无坑洼，无视线阻隔，否则根本测不出各个顶点到坐标原点的真实距离。

文/李开周